Question

17．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sinB=$\frac{b}{2c}$．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinB（2sinC-1）=0，由sinB≠0解得sinC=$\frac{1}{2}$，结合C是钝角，即可解得C的值．
（Ⅱ）由已知及三角形面积公式可求a的值，由余弦定理即可解得c的值．

解答 解：（Ⅰ）由sinB=$\frac{b}{2c}$得2csinB=b，由正弦定理得：2sinCsinB=sinB，
所以sinB（2sinC-1）=0，…（3分）
因为sinB≠0，
所以sinC=$\frac{1}{2}$，
因为C是钝角，
所以C=$\frac{5π}{6}$．  …（6分）
（Ⅱ）因为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$a=$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{3}$，…（9分）
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=12+4-2×$2\sqrt{3}×2×$（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=28，
所以c=2$\sqrt{7}$，即c的值为2$\sqrt{7}$．       …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．