Question

2．已知f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）=x（1+x），则满足f（x）≤2的x的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 可令x（1+x）=2，根据x≥0从而解得x=1，根据二次函数的单调性容易判断f（x）在[0，+∞）上单调递增，这样便可由f（x）≤2得到f（|x|）≤f（1），根据f（x）在[0，+∞）上单调递增便可得出|x|≤1，从而便可得出满足f（x）≤2的x的取值范围．

解答 解：令x（1+x）=2，解得x=1，或-2（舍去）；
x≥0时，f（x）=x²+x，对称轴为x=$-\frac{1}{2}$，在[0，+∞）上单调递增；
∵f（x）为偶函数；
∴由f（x）≤2得，f（|x|）≤f（1）；
∴|x|≤1；
∴-1≤x≤1；
∴满足f（x）≤2的x的取值范围是[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评 考查一元二次方程的解法，二次函数的单调性，增函数的定义，以及偶函数的定义，绝对值不等式的解法．