Question

12．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y≤4}\\{x≥1}\end{array}\right.$表示的平面区域为M，则平面区域M的面积为1；若点P（x，y）是平面区域内M的动点，则z=2x-y的最大值是2．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，由三角形面积公式求得平面区域M的面积；化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y≤4}\\{x≥1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得C（1，3），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得B（2，2），
∴平面区域M的面积为$\frac{1}{2}×2×1=1$；
化z=2x-y，得y=2x-z，由图可知，
当直线y=2x-z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2×2-2=2．
故答案为：1，2．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．