Question

7．已知函数f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在钝角△ABC，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，若b=$\sqrt{13}$，c=4，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1，结合范围0＜B＜π，可得$\frac{π}{6}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，从而解得B=$\frac{π}{3}$，利用余弦定理可得a²-4a+3=0，解得a=1或3．由△ABC为钝角三角形，C为钝角，可得a=1满足题意，即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1
=4cosx（$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx$）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），…4分
∴由2k$π-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函数f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{3}$，k$π+\frac{π}{6}$]，k∈Z…7分
（Ⅱ）∵f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜B＜π，
∴$\frac{π}{6}$＜2B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得B=$\frac{π}{3}$，…9分
∵b²=a²+c²-2accosB，即13=a²+16-4a，整理可得：a²-4a+3=0，
∴解得：a=1或3…12分
∵△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角，经检验：a=1满足题意…14分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，解题时要注意一定要验根，属于中档题．