Question

16．已知抛物线C₁：y²=4x的焦点F也是椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点，C₁与C₂的公共弦长为$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C₂的方程；
（Ⅱ）过椭圆C₂的右焦点F作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C₂相交于A，B两点，线段AB的中点为P，过点P做垂直于AB的直线交x轴于点D，试求$\frac{|DP|}{|AB|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的焦点，由题意可得a²-b²=1，由C₁与C₂关于x轴对称，可得C₁与C₂的公共点为（$\frac{2}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）设l：y=k（x-1），k≠0，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、以及中点坐标公式，化简整理，运用不等式性质，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）抛物线C₁：y²=4x的焦点F为（1，0），
由题意可得a²-b²=1①
由C₁与C₂关于x轴对称，可得C₁与C₂的公共点为（$\frac{2}{3}$，±$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
可得$\frac{4}{9{a}^{2}}$+$\frac{8}{3{b}^{2}}$=1②
由①②解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆C₂的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设l：y=k（x-1），k≠0，代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
即有y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{8{k}^{3}}{3+4{k}^{2}}$-2k=$\frac{-6k}{3+4{k}^{2}}$，
由P为中点，可得P（$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$），又PD的斜率为-$\frac{1}{k}$，
即有PD：y-$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），令y=0，可得x=$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
即有D（$\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，0），
可得|PD|=$\sqrt{（\frac{{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}+（\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{{k}^{4}+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，
又|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{4（4{k}^{2}-12）}{3+4{k}^{2}}}$
=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
即有$\frac{|DP|}{|AB|}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$，
由k²+1＞1，可得0＜$\frac{1}{1+{k}^{2}}$＜1，
即有0＜$\frac{1}{4}$$\sqrt{1-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$＜$\frac{1}{4}$，
则有$\frac{|DP|}{|AB|}$的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查抛物线和椭圆的方程和性质的运用，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．