Question

1．已知函数f（x）=sin²（ωx）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{π}{8}$

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．

解答 解：∵f（x）=sin²（ωx）-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$
=-$\frac{1}{2}$cos2ωx，
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得：ω=2，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$cos4x，
∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=-$\frac{1}{2}$cos（4x-4a），
∴cos4a=0，
∴4a=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
当k=0时，a的最小值为$\frac{π}{8}$．
故选：D．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．