Question

11．已知圆C的圆心在直线x-2y=0上．
（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2$\sqrt{3}$，求圆C的标准方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：y=-2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值；
（3）已知点N（0，3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使MN=2MO（O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆心为（2a，a），通过圆C与y轴的正半轴相切，得到半径r=2a．利用该圆截x轴所得弦的长为2$\sqrt{3}$，列出方程求解即可．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{（{x-2）}^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理以及判别式，结合直线的斜率关系，即可求出b的值．
（3）设圆C的圆心为（2a，a），圆C的方程为（x-2a）²+（y-a）²=9，设M点的坐标为（x，y），利用|3-2|≤$\sqrt{（2a-1）^{2}+（{a-（-1））}^{2}}≤|3+2|$，且a＞0，求出圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]．

解答 解：（1）因为圆C的圆心在直线x-2y=0上，所以可设圆心为（2a，a）．
因为圆C与y轴的正半轴相切，所以a＞0，半径r=2a．
又因为该圆截x轴所得弦的长为2$\sqrt{3}$，
所以a²+（$\sqrt{3}$）²=（2a）²，解得a=1．…（2分）
因此，圆心为（2，1），半径r=2．
所以圆C的标准方程为（x-2）²+（y-1）²=4．…（4分）
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{（{x-2）}^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$消去y，得（x-2）²+（-2x+b-1）²=4．
整理得5x²-4bx+（b-1）²=0．（★）…（5分）
由△=（-4b）²-4×5（b-1）²＞0，得b²-10b+5＜0（※）…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4b}{5}$，x₁x₂=$\frac{（b-1）^{2}}{5}$    （7分）
因为以AB为直径的圆过原点O，可知OA，OB的斜率都存在，
且k_OA•k_OB=$\frac{{{y}_{1}y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-1
整理得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（-2x₁+b）（-2x₂+b）=0．
化简得5x₁x₂-2b（x₁+x₂）+b²=0，即（b-1）²-2b•$\frac{4b}{5}$+b²=0．
整理得2b²-10b+5=0．解得b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$．…（9分）
当b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$时，2b²-10b+5=0，b²-10b+5=-b²．③
由③，得b≠0　从而b²-10b+5=-b²＜0
可见，b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$时满足不等式（※）．b=$\frac{5±\sqrt{15}}{2}$均符合要求．…（10分）
（3）圆C的半径为3，设圆C的圆心为（2a，a），由题意，a＞0．
则圆C的方程为（x-2a）²+（y-a）²=9．…（11分）
又因为MN=2MD，N（0，3），设M点的坐标为（x，y），
则$\sqrt{{x}^{2}+（{y-3）}^{2}}$=$2\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，整理得x²+（y+1）²=4．…（12分）
它表示以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，记为圆D．
由题意可知，点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点．
所以|3-2|≤$\sqrt{（2a-1）^{2}+（{a-（-1））}^{2}}≤|3+2|$，且a＞0．…（13分）
即1$≤\sqrt{4{a}^{2}+（a+1）^{2}}≤5$，且a＞0．
所以$\left\{\begin{array}{l}{5{a}^{2}+2a-24≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{（a-2）（5a+12）≤0}\\{a＞0}\end{array}\right.$
解得0＜a≤2．
所以圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]．…（14分）

点评 本题考查圆的方程的综合应用，圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．