Question

5．已知数列{a_n}是首项为15的等比数列，其前n项的和为S_n，若S₃，S₅，S₄成等差数列，则公比q=$-\frac{1}{2}$，
当{a_n}的前n项的积达到最大时n的值为4．

Answer 1

分析 ①数列{a_n}的公比为q，由于S₃，S₅，S₄成等差数列，可得2S₅=S₃+S₄，q≠1，化为a₄+2a₅=0，即可解出q．
②由①可得：a_n=$15×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．可得{a_n}的前n项的积T_n=15ⁿ×$（-\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$，$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=15×$（-\frac{1}{2}）^{n}$，对n分类讨论即可得出．

解答 解：①数列{a_n}的公比为q，∵S₃，S₅，S₄成等差数列，
∴2S₅=S₃+S₄，q≠1，
∴a₄+2a₅=0，
∴a₄+2a₄q=0，a₄≠0，
解得q=$-\frac{1}{2}$．
②由①可得：a_n=$15×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴{a_n}的前n项的积T_n=15ⁿ×$（-\frac{1}{2}）^{0+1+2+…+（n-1）}$=15ⁿ×$（-\frac{1}{2}）^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=15×$（-\frac{1}{2}）^{n}$，
当n=4时，$\frac{{T}_{5}}{{T}_{4}}$=$\frac{15}{16}$，当n为偶数且大于4时，0＜$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＜$\frac{15}{16}$．
可得：T₁=15，T₂=$-\frac{225}{2}$，T₃=$-\frac{1{5}^{3}}{8}$，T₄=$\frac{1{5}^{4}}{64}$，T₅=15⁵×$（\frac{1}{2}）^{10}$，…，
可得：当n=4时，T_n取得最大值．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．