Question

15．已知抛物线C：x²=2py（p＞0），倾斜角为$\frac{π}{4}$且过点M（0，1）的直线l与C相交于A，B两点，且$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）抛物线C上一动点N，记以MN为直径的圆的面积为S，求S的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的方程为y=x+1，与抛物线C：x²=2py联立，利用韦达定理，结合向量知识，求出p，即可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）MN最小时，以MN为直径的圆的面积最小．

解答 解：（Ⅰ）直线l的方程为y=x+1，与抛物线C：x²=2py联立，可得x²-2px-2p=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2p①，x₁x₂=-2p②，
∵$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$，
∴（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），
∴x₁=-2x₂，③
由①②③可得p=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线C的方程x²=$\frac{1}{2}$y；
（Ⅱ）MN最小时，以MN为直径的圆的面积最小．
设N（x，y），则|MN|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{（y+\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{16}}$，
∴y=0时，MN最小为$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∴S的最小值为$π•（\frac{\sqrt{15}}{8}）^{2}$=$\frac{15}{64}$π．

点评 本题考查抛物线的方程，考察向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．