Question

19．设F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F₁PF₂=90°，则点P到x轴的距离为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题设条件，先利用双曲线的基本性质求出△F₁PF₂的面积，再由三角形的面积公式能求出结果．

解答 解：设|PF₁|=x，|PF₂|=y，（x＞y）
∵a²=4，∴根据双曲线性质可知x-y=4，
∵∠F₁PF₂=90°，c=$\sqrt{5}$，
∴x²+y²=20，
∴2xy=x²+y²-（x-y）²=4，
∴xy=2，
∴△F₁PF₂的面积为$\frac{1}{2}$xy=1，
设点P到x轴的距离为h，
则△F₁PF₂的面积为$\frac{1}{2}h•2c$=1，
∴h=$\frac{1}{c}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义，考查勾股定理，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定|PF₁||PF₂|的值．