Question

7．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x	x1	$\frac{π}{12}$	x2	$\frac{7π}{12}$	x3
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）+B	1	4	1	-2	1

（Ⅰ）求x₂的值及函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）请说明把函数g（x）=sinx的图象上所有的点经过怎样的变换可以得到函数f（x）的图象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的最值求出A、B，由特殊点的坐标列方程组求出ω 和φ，从而求得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意根据五点法作图可得A+B=4，且-A+B=-2，求得A=3，B=1．
再根据2x₂=$\frac{π}{12}$+$\frac{7π}{12}$，求得x₂=$\frac{π}{3}$．
又ω•$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{7π}{12}$+φ=$\frac{3π}{2}$，∴ω=2，φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1．
（Ⅱ）把函数g（x）=sinx的图象上所有的点向左平移$\frac{π}{3}$个单位，可得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的一半，可得y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象向上平移1个单位，可得y=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的图象．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A、B，由特殊点的坐标列方程组求出ω 和φ，从而求得函数f（x）的解析式．还考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．