Question

12．已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}a-{x^2}-2x，x≤0\\{e^{|x-1|}}，x＞0\end{array}\right.$，且函数y=f（x）-1恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-2，0）
• C． （-2，+∞）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 函数的零点的问题也是函数的图象的交点问题，分别画出函数的图象，由图象可知a的范围．

解答 解：∵函数数y=f（x）-1恰有3个不同的零点，
∴f（x）=1有三个解，
即y=f（x）与y=1有三个交点，分别画出函数y=f（x）与y=1的图象，
当x≥0时，f（x）=e^|x-1|与y=1只有一个交点，
当x≤0时，f（x）=a-x²-2x=-（x+1）²+a+1．
结合图象可得只需满足：$\left\{\begin{array}{l}a+1＞1\\ a≤1\end{array}\right.$，解得0＜a≤1，
由图象可知a的范围为（0，1]，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中熟练掌握函数零点与方程根之间的对应关系是解答的关键