Question

如图，已知椭圆C₁的中点在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C₂的短轴为MN，且C₁，C₂的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C₁交于两点，与C₂交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率的取值范围

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：依题意可设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，C₂：

b2y2

a4

+

x2

a2

=1，（a＞b＞0）．设直线l：x=t（|t|＜a），t≠0时，由BO∥AN，得t=-

ab2

a2-b2

=

1-e2

e2

•a．由此能求出椭圆离心率的取值范围．

解答： 解：因为C₁，C₂的离心率相同，
故依题意可设
C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，C₂：

b2y2

a4

+

x2

a2

=1，（a＞b＞0）．
设直线l：x=t（|t|＜a），t≠0时，
BO∥AN，当且仅当BO的斜率k_BO与AN的斜率k_AN相等，
即

b a a2-t2

t

=

a b a2-t2

t-a

，
解得t=-

ab2

a2-b2

=

1-e2

e2

•a．
因为|t|＜a，又0＜e＜1，
所以

1-e2

e2

＜1，解得

2

2

＜e＜1．
故答案为：（

2

2

，1）．

点评：本题考查椭圆离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线斜率相等的合理运用．