Question

对于函数f（x）=

x+1

1+|x-1|

给出如下结论：①f（x）是非奇非偶函数；②f（x）的最大值是2，最小值是-1；③若x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）．
其中正确结论的序号是

 

（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：①根据奇（偶）函数的定义证明；②利用x的范围对解析式化简，表示为分段函数再分类讨论，利用分离常数法化简解析式，判断出各个范围上的单调性和最值，并求出对应的函数值的范围，再判断即可；③根据②得到的结论进行判断即可．

解答： 解：①函数的定义域是R，f(-x)=

-x+1

1+|-x-1|

=

-x+1

1+|x+1|

≠±f（x），
则f（x）是非奇非偶函数，①正确；
②由题意得f(x)=

x+1 x ，(x≥1) x+1 2-x ，(x＜1)

，
当x≥1时，y=

x+1

x

=1+

1

x

在区间[1，+∞）上单调递减，则函数的最大值是2，且f（x）＞1；
当x＜1时，y=

x+1

2-x

=

-(2-x)+3

2-x

=-1+

3

2-x

在区间（-∞，1）上单调递增，
则无最小值、无最大值，且-1＜f（x）＜2
综上得，f（x）的最大值是2，无最小值，②错误；
③由②知，当x≥1时，函数f（x）满足1＜f（x）≤2，
当x＜1时，函数f（x）满足-1＜f（x）＜2，并在各个区间为单调函数，对应的值域有公共部分，
故存在x₁≠x₂，有f（x₁）=f（x₂）成立，③错误．
故答案为：①．

点评：本题考查函数的奇偶性，分段函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想和分离常数法化简分式型的解析式．