Question

下列命题中：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若f（x）是定义域为R的函数，对于任意的x∈R都有f（-x）=f（2+x），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），则f（x）是减函数；
④已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R的都有f（x+1）=f（-x+1）则f（x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：①可通过函数的奇偶性的定义，即可判断；
②由函数的对称性，注意结论：若函数f（x）满足f（2a+x）=f（-x），则f（x）的图象关于直线x=a对称，
应用它即可判断；
③注意函数的单调性的定义中x₁，x₂是函数f（x）定义域内的任意两个自变量，即可判断；
④由奇函数的定义，得到f（-x）=-f（x），又f（x+1）=f（-x+1），得到f（-x）=f（2+x），即f（x+2）=-f（x），
再将x换成x+2，即可判断．

解答： 解：①由于函数f（x）的定义域为R，g（x）=f（x）+f（-x），则g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），
则g（x）是偶函数，故①对；
②由于f（x）是定义域为R的函数，对于任意的x∈R都有f（-x）=f（2+x），
则函数f（x）的图象关于直线x=1对称，故②对；
③若x₁，x₂是函数f（x）定义域内的任意两个值，且x₁＜x₂，若f（x₁）＞f（x₂），
则f（x）是减函数，故③错；
④由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R的都有f（x+1）=f（-x+1），
则f（-x）=f（2+x），又f（-x）=-f（x），即有f（x+2）=-f（x），f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则f（x）是以4为周期的周期函数．故④对．
故答案为：①②④．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查函数的性质和应用，考查函数的单调性的定义和对称性、周期性及奇偶性，属于基础题．