Question

20．椭圆$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1（a＞1）与双曲线$\frac{{y}^{2}}{b}$-y²=1（b＞0）有相同的焦点F₁、F₂，若P为两曲线的一个交点，则△PF₁F₂的面积为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 由椭圆及双曲线的定义，求得|PF₁|=$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$，|PF₂|=$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$，由a-1=b+1，求得a-b=2，利用余弦定理求得cos∠F₁PF₂=0，则∠F₁PF₂=90°，根据三角形的面积公式求得△PF₁F₂的面积．

解答 解：由题意，|PF₁|-|PF₂|=2$\sqrt{b}$，|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{a}$，
∴|PF₁|=$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$，|PF₂|=$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$，
∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{a}$+y²=1与双曲线$\frac{{y}^{2}}{b}$-y²=1有相同的焦点
∴a-1=b+1
∴a-b=2
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{2b+2a-4（a-1）}{2（\sqrt{b}+\sqrt{a}）（\sqrt{b}-\sqrt{a}）}$=$\frac{2b+2a-4a+4}{2（a-b）}$=$\frac{0}{2×2}$=0
∴∠F₁PF₂=90°
∴△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|=$\frac{1}{2}$（a-b）=1，
∴△PF₁F₂的面积1，
故选：D．

点评 本题考查椭圆、双曲线的定义，考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．