Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（-2，2）．
（1）若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{14}{5}$，求（sinα+cosα）²的值；
（2）若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，求sin（π-α）•sin（$\frac{π}{2}+α$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算、同角三角函数基本关系式可求2sinαcosα的值，即可得解．
（2）根据平面向量的共线定理，同角三角函数基本关系式可求sinαcosα，进而利用诱导公式化简所求即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（-2，2）．$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2sinα-2cosα=$\frac{14}{5}$，
∴解得：sinα-cosα=$\frac{7}{5}$，两边平方，可得：1-2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，解得：2sinαcosα=-$\frac{24}{25}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=1-$\frac{24}{25}$=$\frac{1}{25}$．
（2）∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，
∴2cosα+2sinα=0，解得：cosα+sinα=0，
∴两边平方可得：1+2sinαcosα=0，解得：sinαcosα=-$\frac{1}{2}$，
∴sin（π-α）•sin（$\frac{π}{2}+α$）=sinα•cosα=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数量积运算、平面向量的共线定理，同角三角函数基本关系式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．