Question

给出下列等式：

3

1×2

×

1

2

=1-

1

2×21

；?

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

=1-

1

3×22

；

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+

5

3×4

×

1

23

=1-

1

4×23

…
由以上等式推出一个一般结论：
对于n∈N^*，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：归纳猜想型

分析：由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为

n+2

n(n+1)

×

1

2n

，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为

1

(n+1)2n

，由此即可得到结论．

解答： 解：由已知中的等式：

3

1×2

×

1

2

=1-

1

2×21

；?

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

=1-

1

3×22

；

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+

5

3×4

×

1

23

=1-

1

4×23

…
由以上等式我们可以推出一个一般结论：
对于n∈N^*，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=1-

1

(n+1)2n

．
故答案为：

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=1-

1

(n+1)2n

．

点评：本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．