Question

9．如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，半径为R，∠AOB=60°，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧AB上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，设∠COA=θ，
（1）当θ=45°时，求CD；
（2）θ为何值时，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在△COD中，由已知及正弦定理可求CD．
（2）由已知及正弦定理可得$CD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsinθ$，$OD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{60°-θ}）$，利用三角函数恒等变换的应用化简可得$CD+CE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{θ+60°}）$，结合范围θ+60°∈（60°，120°），利用正弦函数的性质可得结果．

解答 答：（1）在△COD中，∠COD=45°，∠ODC=120°，OC=R，
由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠COD}=\frac{OC}{sin∠ODC}$，
∴$CD=\frac{{\sqrt{6}}}{3}R$．
（2）在△COD中，由正弦定理得：$CD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsinθ$，$OD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{60°-θ}）$，
∴$CD+CE=CD+OD=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsinθ+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{60°-θ}）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}R（{\frac{1}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ}）$，
即：$CD+CE=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}Rsin（{θ+60°}）$，
∵θ∈（0°，60°），
∴θ+60°∈（60°，120°），
所以，当θ=30°时，CD与CE的总长最大，最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}R$．

点评 本题给出圆心角为60度的扇形场地，求修建道路CD与CE的总长最大值，着重考查了利用正弦定理解三角形、正弦函数的图象和性质等知识，考查了数形结合思想，属于中档题．