【题目】设(e为自然对数的底数),
.
(I)记,讨论函
单调性;
(II)令,若函数G(x)有两个零点.
(i)求参数a的取值范围;
(ii)设的两个零点,证明
.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)(i)a>0; (ii)见解析
【解析】
(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)(i)求出函数的导数,通过讨论a的范围,根据函数的零点的个数,求出a的范围即可;
(ii)根据a的范围,得到,令m>0,得到F (-1+m)﹣F(﹣1﹣m)
(
e2m+1),再令φ(m)
e2m+1,根据函数的单调性证明即可.
(Ⅰ),
,所以
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增.
(Ⅱ)由已知,,
.
①当
时,
,有唯一零点
;
②当时,
,所以
当时,
,
减;
当时,
,
增.
所以,
因,所以当
时,
有唯一零点;
当时,
,则
,所以
,
所以,
因为,
所以,,
,且
,当
,
时,使
,
取,则
,从而可知
当时,
有唯一零点,
即当时,函数
有两个零点.
③当时,
,由
,得
,或
.
若
,即
时,
,所以
是单调减函数,至多有一个零点;
若
,即
时,
,注意到
,
都是增函数,所以
当时,
,
是单调减函数;
当时,
,
是单调增函数;
当时,
,
是单调减函数.
又因为,所以
至多有一个零点;
若
,即
时,同理可得
当时,
,
是单调减函数;
当时,
,
是单调增函数;
当时,
,
是单调减函数.
又因为,所以
至多有一个零点.
综上,若函数有两个零点,则参数
的取值范围是
.
由
知,函数
有两个零点,则参数
的取值范围是
.
,
是
的两个零点,则有
,
因,则
,且
,
,
,
,
,
由(Ⅰ)知,当时,
是减函数;当
时,
是增函数.
令,
,
再令φ(m)e2m+1=e2m
1,,
,
所以,又
,所以
时,
恒成立,即
恒成立,
令,即
,有
,即
,
因为,所以
,又
,必有
,
又当时,
是增函数,所以
,即
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】近年来,国资委.党委高度重视扶贫开发工作,坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署,在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作,取得了积极成效,某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示:
土地使用面积 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
管理时间 | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如下表所示:
愿意参与管理 | 不愿意参与管理 | |
男性村民 | 150 | 50 |
女性村民 | 50 |
(1)求出相关系数的大小,并判断管理时间
与土地使用面积
是否线性相关?
(2)是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性?
(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况,则从该贫困县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为,求
的分布列及数学期望。
参考公式:
其中。临界值表:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参考数据:
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表:
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”,已知“歌迷”中有10名女性.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料我们能否有
的把握认为“歌迷”与性别有关?
(2)将收看该节目所有场次(14场)的观众称为“超级歌迷”,已知“超级歌迷”中有2名女性,若从“超级歌迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
附:.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为
(其中
为参数).现以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)过点,且与直线
平行的直线
交
于
两点,求
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】独立性检验中,假设:运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下,计算得
的观测值
.下列结论正确的是( )
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关
B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关
C. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动有关
D. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为运动员受伤与不做热身运动无关
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线
的极坐标方程为
.
(1)设是曲线
上的一个动点,若点
到直线
的距离的最大值为
,求
的值;
(2)若曲线上任意一点
都满足
,求
的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com