Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知3S₃=4a₃-a₁，且a₂+a₃=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；   
（2）设b_n=a_n+n，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得 q≠1，由3×

a1(1-q3)

1-q

=4a1q2-a₁，且a₁q+a1q2=20，求出首项和公比，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（2）根据b_n=a_n+n=4^n-1+n，利用等比数列的前n项和公式，等差数列的前n项和公式求出 数列{b_n}的前n项和T_n 的值．

解答：解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由题意可得 q≠1．
再由 3×

a1(1-q3)

1-q

=4a1q2-a₁，且a₁q+a1q2=20，
化简得 3（1+q+q²）=4q²-1，且 a₁=

20

q+q2

．
解得

a1=1 q=4

，故通项公式为 a_n=1×4^n-1=4^n-1．
（2）∵b_n=a_n+n=4^n-1+n，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n =（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n）=

1×(1-4n)

1-4

+

n(n+1)

2

=

4n-1

3

+

n2+n

2

．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．