Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）求，当时，求出的解，进而得到单调区间，求出极小值，最小值；

（2）求出的根，对分类讨论，求出的解，即可得出结论；

（3）求出，得到在单调区间，求出在的最值，转化为在上至少有两个不同的根，分离参数得到，求出与函数图象至少有两交点时，的取值范围.

（1），

当时，，

，

单调递减区间为，单调递增区间为，

时，取得极小值，也是最小值，

的最小值为；

（2）当时，，

令或，

若时，恒成立，函数单调递减区间是，

若时，，当或时，，

当时，，

即函数递减区间是，递增区间是，

若时，，当或时，，

当时，，

即函数递减区间是，递增区间是，

综上，若时，函数的递减区间是，无递增区间

若时，函数的递减区间是，递增区间是，

若时，函数的递减区间是，递增区间是；

（3）当时，设函数，

则，设，

当时，为增函数，

在为增函数，

在区间上递增，

函数在上的值域为，

，

在上至少有两个不同的根，

即，令，

，令，

则恒成立，

在递增，，

当时，，

当时，，

所以在单调递减，在单调递增，

当，

，

即实数的取值范围是