Question

11．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x-1|（a∈R）．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；
（2）若f（x）≤2x在x∈[$\frac{1}{2}$，1]时恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论即可求出不等式的解集；
（2）由绝对值不等式的性质，不等式可化为|ax+1|≤1，即-$\frac{2}{x}$≤a≤0，根据x的范围，求出-$\frac{2}{x}$的范围，即可得到a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2
①当x≥$\frac{1}{2}$时，不等式为3x≥2，解得x≥$\frac{2}{3}$，故x≥$\frac{2}{3}$；
②当-1≤x＜$\frac{1}{2}$时，不等式为2-x≤2，解得x≤0，故-1≤x≤0；
③当x＜-1时，不等式为-3x≥2，解得x≤-$\frac{2}{3}$，故x＜-1；
综上原不等式的解集为（-∞，0]∪[$\frac{2}{3}$，+∞）；
（2）f（x）≤2x在x∈[$\frac{1}{2}$，1]时恒成立时恒成立，
当x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，
解得-2≤ax≤0，
所以-$\frac{2}{x}$≤a≤0，
因为x∈[$\frac{1}{2}$，1]，所以-$\frac{2}{x}$∈[-4，-2]，
所以a的取值范围是[-2，0}．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．