中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案.充分展现了相互转化.对称统一的形式美.和谐美．给出定义:能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数．给出下列命题:①对于任意一个圆O.其“优美函数有无数个,②函数f(x)=ln可以是某个圆的“优美函数 ,③� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个；
②函数f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）可以是某个圆的“优美函数”；
③余弦函数y=f（x）可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．
其中正确的命题是①②④（写出所有正确命题的序号）

分析利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．

解答解：①对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，注意函数是奇函数，即可得到结果．①是“优美函数”．
②函数f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）可以是某个圆的“优美函数”；
因为函数f（x）=ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）是奇函数，满足优美函数的定义，所以②满足题意；
③余弦函数y=f（x）=cosx是偶函数，不可以同时是无数个圆的“优美函数”；所以③不正确．
④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）是奇函数，它的图象是中心对称图形．所以④满足题意．
故答案为：①②④．

点评本题考查函数的奇偶性的应用，命题真假的判断，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．

练习册系列答案

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