Question

14．如图，设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1，
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；
（Ⅱ）设出直线AF的方程，与抛物线联立，求出B的坐标，求出直线AB，FN的斜率，从而求出直线BN的方程，根据A、M、N三点共线，可求出M的横坐标的表达式，从而求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=-1的距离，
由抛物线定义得，$\frac{p}{2}=1$，即p=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，抛物线方程为y²=4x，F（1，0），可设（t²，2t），t≠0，t≠±1，
∵AF不垂直y轴，
∴设直线AF：x=sy+1（s≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=sy+1}\end{array}\right.$，得y²-4sy-4=0．
y₁y₂=-4，
∴B（$\frac{1}{{t}^{2}}，-\frac{2}{t}$），
又直线AB的斜率为$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$，故直线FN的斜率为$\frac{{t}^{2}-1}{2t}$，
从而得FN：$y=-\frac{{t}^{2}-1}{2t}（x-1）$，直线BN：y=-$\frac{2}{t}$，
则N（$\frac{{t}^{2}+3}{{t}^{2}-1}，-\frac{2}{t}$），
设M（m，0），由A、M、N三点共线，得$\frac{2t}{{t}^{2}-m}=\frac{2t+\frac{2}{t}}{{t}^{2}-\frac{{t}^{2}+3}{{t}^{2}-1}}$，
于是m=$\frac{2{t}^{2}}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{1-\frac{1}{{t}^{2}}}$，得m＜0或m＞2．
经检验，m＜0或m＞2满足题意．
∴点M的横坐标的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．