Question

5．如图，在三棱台ABC-DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，
（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；
（Ⅱ）求二面角B-AD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （I）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD．
（II）方法一：先找二面角B-AD-F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出；
方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B-AD-F的平面角的余弦值．

解答 （I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，
∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．
又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，
∴BF⊥平面ACFD．
（II）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，
∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．
在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．
在Rt△BQF中，BF=$\sqrt{3}$，FQ=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．可得：cos∠BQF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴二面角B-AD-F的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形，
取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，
以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz．
可得：B（1，0，0），C（-1，0，0），K（0，0，$\sqrt{3}$），A（-1，-3，0），$E（\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$F（-\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{AC}$=（0，3，0），$\overrightarrow{AK}$=$（1，3，\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{AB}$=（2，3，0）．
设平面ACK的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面ABK的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{AK}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{3{y}_{1}=0}\\{{x}_{1}+3{y}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{m}$=$（\sqrt{3}，0，-1）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{AK}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{2}+3{y}_{2}=0}\\{{x}_{2}+3{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（3，-2，\sqrt{3}）$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴二面角B-AD-F的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．