Question

10．已知AB为圆O：（x-1）²+y²=1的直径，点P为直线x-y+1=0上任意一点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为1．

Answer 1

分析 由AB为圆O：（x-1）²+y²=1的直径，可设A（1+cosθ，sinθ），B（1-cosθ，-sinθ）．点P为直线x-y+1=0上任意一点，可设P（x，x+1）．利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：由AB为圆O：（x-1）²+y²=1的直径，
可设A（1+cosθ，sinθ），B（1-cosθ，-sinθ）．
∵点P为直线x-y+1=0上任意一点，可设P（x，x+1），
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（1+cosθ-x，sinθ-x-1）•（1-cosθ-x，-sinθ-x-1）=（1-x）²-cos²θ+（1+x）²-sin²θ=2x²+1≥1．
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值为1，此时P（0，1）．
故答案为：1．

点评 本题考查了圆的标准方程、数量积运算性质、二次函数的单调性、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．