Question

1．已知一个无穷等比数列{a_n}的每一项都等于它以后各项和的k倍，则实数k的取值范围是（-∞，-2]∪（0，+∞）．

Answer 1

分析 无穷等比数列{a_n}的各项和为A，前n项和为S_n，公比为q，0＜|q|≤1，q≠1．可得A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，由题意可得：a_n=k（A-S_n），代入化为：k=$\frac{q（1-q）}{{q}^{n}}$，分类讨论即可得出．

解答 解：无穷等比数列{a_n}的各项和为A，前n项和为S_n，公比为q，0＜|q|≤1，q≠1．
则A=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
由题意可得：a_n=k（A-S_n），
∴a₁q=k（$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$），
化为：k=$\frac{q（1-q）}{{q}^{n}}$，
1＞q＞0时，k＞0，n→+∞时，k→+∞．
-1≤q＜0时，可得：n为偶数时，k∈（-∞，-2]；n为奇数时，k＞0．
∴k∈（-∞，-2]∪（0，+∞）．
综上可得：k∈（-∞，-2]∪（0，+∞）．
故答案为：（-∞，-2]∪（0，+∞）．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、极限性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．