Question

7．在区间[0，$\frac{3π}{4}$]上随机取一个数x，则时间“sinx+cosx≥1”发生的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用三角函数的辅助角公式求出sinx+cosx≤1的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．

解答 解：由sinx+cosx≥1得$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）≥1，
即sin（x+$\frac{π}{4}$）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2kπ+$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈Z
即2kπ≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
∵0≤x≤$\frac{3}{4}$π，
∴当k=0时，x的取值范围是0≤x≤$\frac{π}{2}$，
则“sinx+cosx≥1”发生的概率P=$\frac{\frac{π}{2}}{\frac{3π}{4}}$=$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，利用辅助角公式求出不等式的等价条件是解决本题的关键．