Question

(本小题满分14分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面CDAB， ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD90º，BC2，PAAB1．

（1）求证：PD⊥AB；
（2）在线段PB上找一点E，使AE//平面PCD；
（3）求点D到平面PBC的距离．

Answer 1

h=

解：（1）∵PA⊥平面CDAB，AB平面ABCD，∴PA⊥AB，  …………2分
又AB⊥AD，PAAD=A，∴AB⊥平面PAD，                   …………3分
∵PD平面PAD，∴AB⊥PD．                                  …………4分
（2）取线段PB的中点E，PC的中点F，连结AE，EF，DF，
EF是△PBC中位线，∴EF∥BC，；                   …………6分
又AD∥BC，，∴四边形EFDA是平行四边形，         …………8分
∴AE∥DF，又AE平面PDC，DF平面PDC，∴AE∥平面PDC，
故线段PB的中点E是符合题意要求的点．                       …………10分
（3）设点D到平面PBC的距离为h．∵BC⊥AB，BC⊥PA，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
PB=，S_△PBC=PB·BC=，S_△BDC=BC·AB="1 " …………12分
∵V_P－BDC=V_D－PBC，即S_△BDC·PA=S_△PBC·h，∴h=．          …………14分