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(本小题满分13分)如图,已知三棱柱的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由沿棱柱侧面经过棱到点的最短路线长为,设这条最短路线与的交点为

(1)求三棱柱的体积;
(2)在面内是否存在过的直线与面平行?证明你的判断;
(3)证明:平面⊥平面

平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行.
解:(1)如图,将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120°,
使其与侧面AA1C1C在同一平面上,点B运动到
点B2的位置,连接A1B2,则A1B2就是由点B沿
棱柱侧面经过棱CC1到点A1的最短路线.
设棱柱的棱长为,则B2C=AC=AA1,
∵CD∥AA1 ,      的中点.                              ………2分
在Rt△A1AB2中,由勾股定理得
 ,解得,∵
.                                  ………5分
(2)设A1B与AB1的交点为O,连结BB2,OD,则
平面平面,   ∴平面
即在平面A1BD内存在过点D的直线与平面ABC平行.               ………9分
(3)连结AD,B1D∵
,  ∴
 ,,  
平面A1ABB1,又∵平面A1BD. 
∴平面A1BD⊥平面A1ABB1.                                 ………13分
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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PDA="45°," 点EF分别为棱ABPD的中点.

(1)求证: AF∥平面PCE;
(2)求证: 平面PCE⊥平面PCD;
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是不同的直线,是不重合的平面,下列命题为真命题的是(   )
A.若B.若
C.若D.若

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(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
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(1)求证:PD⊥AB;
(2)在线段PB上找一点E,使AE//平面PCD;
(3)求点D到平面PBC的距离.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题


已知ab是直线,是平面,给出下列命题:
①若a,则a
②若ab所成角相等,则ab
③若,则
④若aa,则
其中正确的命题的序号是_________.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

底面边长为1,高为3的正三棱柱的体积为                

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若点M在直线b上,b在平面内,则M、b、之间的关系可记作( )
A.MbB.MbC.MbD.Mb

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在正方形中,过对角线的一个平面交于E,交于F,则
① 四边形一定是平行四边形
② 四边形有可能是正方形
③ 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
④ 四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为    。(写出所有正确结论的编号)

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