Question

【题目】如图所示的几何体中，．

(1)求证：平面ABCD；

(2)若，点F在EC上，且满足EF=2FC，求二面角F—AD—C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

（1）在中，根据已知的边、角条件运用余弦定理可得出，再由

，

得出平面ABE.，由线面垂直的性质得，再根据线面垂直的判定定理得证；

（2）在以B为原点，建立空间直角坐标系，得出点的坐标，求出面的法向量，由（1）得平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量，再根据向量的夹角公式求得二面角的余弦值.

（1）在中，

由余弦定理可得

所以，所以所以是直角三角形，.

又，所以平面ABE.

因为平面ABE，所以，因为,

所以平面ABCD.

（2）由（1）知，平面ABE，所以平面平面AEB，在平面ABE中，过点B作，则平面BEC，如图，以B为原点，BE,BC所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则,

因为，所以，易知,

设平面ADF的法向量为

则

即令则

所以为平面ADF的一个法向量，

由（1）知平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量.

设二面角的平面角为，

由图知为锐角，则

所以二面角的余弦值为.