Question

已知关于x的不等式（ax-5）（x²-a）＜0的解集为M．
（1）当a=4时，求集合M；
（2）当3∈M，且5∉M时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=4时，不等式即（ax-5）（x²-a）＜0，即 （x-

5

4

）（x-2）（x+2）＜0，用穿根法求出它的解集．
（2）当3∈M，且5∉M时，可得（3a-5）（9-a）＜0，且（5a-5）（25-a）≥0，由

a＞9 ，或a＜ 5 3 1≤a≤25

 
求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=4时，不等式即（ax-5）（x²-a）＜0，即 （x-

5

4

）（x-2）（x+2）＜0，
由数轴标根法得x＜-2，或

5

4

＜x＜2，
故M={x|x＜-2，或

5

4

＜x＜2}．
（2）当3∈M，且5∉M时，可得（3a-5）（9-a）＜0，且（5a-5）（25-a）≥0，
∴

a＞9 ，或a＜ 5 3 1≤a≤25

，解得 1≤a＜

5

3

，或 9＜a≤25，
故实数a的取值范围是{a|1≤a＜

5

3

，或9＜a≤25}．

点评：本题主要考查一元二次不等式的解法、用穿根法解高次不等式，属于中档题．