Question

已知左焦点为F₁（-2

2

，0）的椭圆过点（

3 2

2

，

2

2

），过上顶点A作两条互相垂直的动弦AP，AQ交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动弦AP所在直线的斜率为1，求直角三角形APQ的面积；
（3）试问动直线PQ是否过定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题意可得

c=2 2 9 2a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可；
（2）由题意可得直线AP的方程为：y=x+1，直线AQ的方程为y=-x+1．分别与椭圆联立解得点P，Q的坐标．利用两点之间的距离公式可得|AP|，|AQ|，再利用三角形的面积计算公式即可得出；
（3）证明：直线PQ过定点M(0，-

4

5

)．设直线AP的方程为：y=kx+1，则直线AQ的方程为：y=-

1

k

x+1．分别与椭圆的方程联立解得点P，Q的坐标．利用斜率计算公式可得k_PM=k_QM，即可得出P，Q，M三点共线，即可证明．

解答： 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意可得

c=2 2 9 2a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

，
解得a²=9，b²=1，c=2

2

．
∴椭圆的方程为

x2

9

+y2=1．
（2）由题意可得直线AP的方程为：y=x+1，直线AQ的方程为y=-x+1．
联立

y=x+1 x2+9y2=9

，解得

xP=- 9 5 yP=- 4 5

，解得P(-

9

5

，-

4

5

)，
同理解得Q(

9

5

，-

4

5

)．
∴|AP|=|AQ|=

(- 9 5 )2+(- 4 5 -1)2

=

9 2

5

，
∴S△APQ=

1

2

|AP|2=

1

2

×(

9 2

5

)2=

81

25

．
（3）证明：直线PQ过定点M(0，-

4

5

)．
设直线AP的方程为：y=kx+1，则直线AQ的方程为：y=-

1

k

x+1．
联立

y=kx+1 x2+9y2=9

，化为（1+9k²）x²+18kx=0，
∴xP=

-18k

1+9k2

，yP=

1-9k2

1+9k2

，即P(

-18k

1+9k2

，

1-9k2

1+9k2

)，
同理可得Q(

18k

k2+9

，

k2-9

k2+9

)．
∴kPM=

1-9k2 1+9k2 + 4 5

- 18k 1+9k2

=

k2-1

10k

，kQM=

k2-9 k2+9 + 4 5

18k k2+9

=

k2-1

10k

，
∴k_PM=k_QM，
∴P，Q，M三点共线．
∴直线PQ过定点M(0，-

4

5

)．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题转化为方程联立可得交点的坐标、两点之间的距离公式、三角形的面积计算公式、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．