Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0），且a＞0，b＞0．
（1）若点A，B，C在直线L上，求u=

1

a

+

2

b

的最小值，并求此时直线L的方程；
（2）若以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长相等，且

OA

•（

AB

-

AC

）=5 求a，b的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据若A，B，C在直线L上，利用向量共线可以得到a，b的一个方程，u的最小值可以利用基本不等式求解，等号成立的条件又可得到一个a，b的方程，联立可求出a，b，进而利用两点式写出直线L的方程；
（2）由条件得AB⊥AC，利用向量的内积为0可得到a，b的一个方程，再利用

OA

•（

AB

-

AC

）=5，代入坐标得到一个关于a，b的方程，联立可解出a，b．

解答： 解：（1）若A，B，C在直线L上，
∵

AB

=(a-1，1)，

AC

=(-b-1，2)
∴（a-1）×2-（-b-1）×1=0
即2a+b=1，
∵a＞0，b＞0，u=

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）×（2a+b）=

b

a

+

4a

b

+4≥8，
当且仅当

b

a

=

4a

b

时等号成立，即2a=b，
∵2a+b=1，∴a=

1

4

，b=

1

2

∴u的最小值为8，
∴由两点式得：

y-(-2)

0-(-2)

=

x-1

- 1 2 -1

，整理得：4x+3y+2=0．
∴直线L的方程为：4x+3y+2=0．
（2）由条件得AB⊥AC，所以

AB

•

AC

=0，
而

AB

=(a-1，1)，

AC

=(-b-1，2)
∴ab+a-b-3=0，-----------①
又

OA

•(

AB

-

AC

)=5，∴a+b-3=0，------②
由①②得，a=2，b=1或a=3，b=0（舍去）
∴a=2，b=1．

点评：本题考查了向量的运算及应用，以及求最值的方法，主要考查了方程思想，根据条件运用向量的坐标运算构建方程组是解决本题的关键．