Question

3．已知圆C：x²+y²+4x-28=0内一点A（2，0），点M在圆C上运动，若MA的垂直平分线交CM于一点P（C为圆心）．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）在点P的轨迹上是否存在点N（2，-1）对称的两点？若存在，请求出对称点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，画出图形，再由椭圆的定义求得椭圆方程；
（2）假设椭圆上存在关于点N（2，-1）对称的两点G、H，则两点连线的斜率存在，设为k（k≠0），则GH：y=k（x-2）-1，联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到G、H两点横坐标的和，结合中点坐标公式列式求得k值，进一步求得两对称点的坐标．

解答 解：（1）如图，圆C：x²+y²+4x-28=0化为（x+2）²+y²=32，
圆心C（-2，0），半径r=$4\sqrt{2}$，点A（2，0），

∵P为MA的垂直平分线上的点，∴|PM|=|PA|，
则|PC|+|PA|=|CM|=r=$4\sqrt{2}$，
由椭圆定义可得，点P的轨迹是以C、A为焦点，以$4\sqrt{2}$为长轴长的椭圆，
且c=2，a=$2\sqrt{2}$，∴b²=a²-c²=8-4=4，
则点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）∵$\frac{{2}^{2}}{8}+\frac{（-1）^{2}}{4}=\frac{3}{4}＜1$，∴点N（2，-1）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$的内部，
假设椭圆上存在关于点N（2，-1）对称的两点G、H，则两点连线的斜率存在，设为k（k≠0），
则GH：y=k（x-2）-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）-1}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-（8k²+4k）x+8k²+8k-6=0．①
则$\frac{8{k}^{2}+4k}{1+2{k}^{2}}=4$，解得k=1，代入①得：3x²-12x+10=0．
解得${x}_{1}=\frac{6-\sqrt{6}}{3}，{x}_{2}=\frac{6+\sqrt{6}}{3}$．
代入y=x-3，得${y}_{1}=\frac{-3-\sqrt{6}}{3}，{y}_{2}=\frac{-3+\sqrt{6}}{3}$．
∴点P的轨迹上存在关于点N（2，-1）对称的两点，
坐标分别为（$\frac{6-\sqrt{6}}{3}，\frac{-3-\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{6+\sqrt{6}}{3}，\frac{-3+\sqrt{6}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．