Question

8．如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，FB=$\sqrt{10}$，M，N分别为EF，AB的中点．
（I）求证：MN∥平面FCB；
（Ⅱ）若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）根据线面平行的判定定理进行证明即可；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．

解答 证明：（I）取BC的中点Q，连接NQ，FQ，则NQ=$\frac{1}{2}$AC，NQ∥AC．
又MF=$\frac{1}{2}$AC，MF∥AC，所以MF=NQ，MF∥NQ，则四边形MNQF为平行四边形，即MN∥FQ．
∵PQ?平面FCB，MN?平面FCB，
∴MN∥平面．…5分
（Ⅱ）解：由AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°可得，∠ACB=90°．AC=$\sqrt{3}$，BC=1，AB=2，
因为四边形ACFE为矩形，所以AC⊥平面FCB，
则∠AFC为直线AF与平面FCB所成的角，即∠AFC=30°，
∴FC=3．
∵FB=$\sqrt{10}$，∴FC⊥BC．
则可建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
∴A（$\sqrt{3}$，0，0）．B（0，1，0），M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，3），则$\overrightarrow{MA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，-3），$\overrightarrow{MB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，-3），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面MAB的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x-3z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+y-3z=0}\end{array}\right.$．
取x=2$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，6，1）为平面MAB的一个法向量．
又$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，0）为平面FCB的一个法向量，
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}×\sqrt{3}}{7×\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{7}$．
则平面MAB与平面FCB所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{3}}{7}$．…12分

点评 本小题主要考查线面平行的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．