Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x₀，y₀），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x₀）=0．若函数f（x）=x³-3x²，则可求得f（

1

2013

）+f（

2

2013

）+…+f（

4024

2013

）+f（

4025

2013

）

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4，而要求的式子可用倒序相加法求解，共有2012对-4和一个f（1）=-2，可得答案．

解答： 解：由题意f（x）=x³-3x²，则f′（x）=3x²-6x，f″（x）=6x-6，
由f″（x₀）=0得x₀=1，而f（1）=-2，故函数f（x）=x³-3x²关于点（1，-2）对称，即f（x）+f（2-x）=-4．
所以f(

1

2013

)+f(

4025

2013

)=-4，…f(

2012

2013

)+f(

2014

2013

)=-4，f(

2013

2013

)=f(1)=-2，
所以f(

1

2013

)+f(

2

2013

)+…f(

4024

2013

)+f(

4025

2013

)=-4×2012+（-2）=-8050，
故答案为：-8050．

点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键．