Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为棱AB的中点，且AB=2，A1A=

2

，AD=1．
（I）求证：AB₁⊥平面A₁PD₁；
（II）求二面角A₁-D₁P-B₁的正切值；
（III）求点D到平面A₁D₁P的距离．

Answer 1

分析：（I）证明AB₁垂直平面A₁PD₁内的两条相交直线：A₁D₁、A₁P，即可证明AB₁⊥平面A₁PD₁；
（II）设AB₁∩A₁P=E，过E作棱D₁P的垂线EF，垂足为F，连接B₁F，说明∠B₁FE为二面角A₁-D₁P-B₁的平面角，然后解三角形，求二面角A₁-D₁P-B₁的正切值；
（III）点D到平面A₁D₁P的距离转化为点A到平面A₁D₁P的距离，然后求解即可．

解答：证明：（I）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体
∴A₁D₁⊥平面A₁ABB₁
且AB₁?平面A₁ABB₁
∴A₁D₁⊥AB₁
∵P为AB中点，A1A=

2

AB=2，AP=1
在Rt△A1AP中，tanAA1P=

1

2

=

2

2

在Rt△AB₁B中，tanB₁AB=

2

2

∴∠AA₁P=∠B₁AB
∵在Rt△A1AP中，∠AA1P+∠A1PA=

π

2

∴∠B1AB+∠A1PA=

π

2

∴A₁P⊥AB₁，又A₁D₁∩A₁P=A₁
∴AB₁⊥平面A₁PD₁（5分）

解：（II）设AB₁∩A₁P=E，∵AB₁⊥平面A₁PD₁∴B₁E⊥平面A₁PD₁
过E作棱D₁P的垂线EF，垂足为F，连接B₁F
则EF是B₁F在平面A₁PD₁内的射影，由三垂线定理得B₁F⊥D₁P
∴∠B₁FE为二面角A₁-D₁P-B₁的平面角
∵在Rt△AEP中，EP=AP•sinEAP=

2

6

=

3

3

同理可得B1E=

2 6

3

又∵Rt△D₁A₁P∽Rt△EFP
∴

EF

A1D1

=

EP

D1P

∴EF=

EP•A1D1

A1D12+A1P2

=

3 3 ×1

2

=

3

6

在Rt△B₁EF中，tanB1FE=

B1E

EF

=4

2

（10分）

（III）∵AD∥A₁D₁，且A₁D₁?平面A₁D₁P，AD?平面A₁D₁P
∴AD∥平面A₁D₁P
∴点D到平面A₁D₁P的距离等于点A到平面A₁D₁P的距离
∵AE⊥平面A₁D₁P
∴线段AE的长为点A到平面A₁D₁P的距离
∵AE=

6

3

∴点D到平面A₁D₁P的距离为

6

3

（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．