【题目】如图,平面PAC⊥平面ABC,点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点,点G是线段CO的中点,AB=BC=AC=4,PA=PC=2.求证:
(1)PA⊥平面EBO;
(2)FG∥平面EBO.
【答案】(1)详见解析 (2)详见解析
【解析】
试题(1)证明线面垂直条件,一般利用线面垂直判断定理给予证明,即从线线垂直证明,而条件面面垂直,可利用其性质定理 ,转化为线面垂直,即由平面PAC⊥平面ABC得 BO⊥面PAC.进而得到线线垂直;(2)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理给予证明,即从线线平行出发,本题中可利用三角形重心性质或三角形中位线性质,因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点,因此AF与 BE交点Q是△PAB的重心,得到对应线段成比例,,从而得到线线平行.
试题解析:证明:由题意可知,△PAC为等腰直角三角形,
△ABC为等边三角形.
(1)因为O为边AC的中点,所以BO⊥AC.
因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,
BO平面ABC,所以BO⊥面PAC.
因为PA平面PAC,所以BO⊥PA.
在等腰三角形PAC内,O、E为所在边的中点,所以OE⊥PA.
又BO∩OE=O,所以PA⊥平面EBO.
(2)连AF交BE于Q,连QO.
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点,
所以,且Q是△PAB的重心,
于是,所以FG∥QO.
因为FG平面EBO,QO平面EBO,所以FG∥平面EBO.
【注】第(2)小题亦可通过取PE中点H,利用平面FGH∥平面EBO证得.
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【题目】在平面直角坐标系中,点
关于直线
对称的点
位于抛物线
上.
(1)求抛物线的方程;
(2)设抛物线的准线与其对称轴的交点为
,过点
的直线
交抛物线
于点
,
,直线
交抛物线
于另一点
,求直线
所过的定点.
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【题目】从某工厂生产线上随机抽取16件零件,测量其内径数据从小到大依次排列如下:1.12,1.25,1.21,1.23,1.25,1.25,1.26,1.30,1.30,1.32,1.34,1.35,1.37,1.38,1.41,1.42.据此可估计该生产线上大约有25%的零件内径小于等于___________㎜,大约有30%的零件内径大于___________mm(单位:mm).
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)若时,求
与
的交点坐标;
(2)若上的点到
距离的最大值为
,求
.
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【题目】设函数f (x)=ln x-x+1.
(1)讨论函数f (x)的单调性;
(2)证明当x∈(1,+∞)时, ;
(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>cx.
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【题目】在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动,抽奖规则是:盒子里面共有5个小球,小球上分别写有0,1,2,3,4的数字,小球除数字外其它完全相同,每对亲子中,家长先从盒子中取出一个小球,记下数字后将小球放回,孩子再从盒子中取出一个小球,记下小球上数字将小球放回.抽奖活动的奖励规则是:①若取出的两个小球上数字之积大于8,则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间上,则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于2,则奖励饮料一瓶.
(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率;
(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率,哪个更大?请说明理由.
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