已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值.
(1)3e(2) 所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数.函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
【解析】(1)当a=0时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故f′(1)=3e.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f′(x)=0,解得x=-2a或x=a-2.由a≠知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论.
①若a>,则-2a<a-2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,-2a) | -2a | (-2a,a-2) | a-2 | (a-2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 极大值 | 极小值 |
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,在(-2a,a-2)内是减函数.
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<,则-2a>a-2.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,a-2) | a-2 | (a-2,-2a) | -2a | (-2a,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 极大值 | 极小值 |
所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,在(a-2,-2a)内是减函数.
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a
科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标6.1练习卷(解析版) 题型:解答题
先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:
已知a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:+≥.
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,f(x)对一切实数x∈R,恒有f(x)≥0,则Δ=4-8(+)≤0,∴+≥.
(1)已知a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述结论的推广式;
(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.
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科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标5.2习卷(解析版) 题型:解答题
实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是:
(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
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科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标4章末练习卷(解析版) 题型:填空题
若曲线f(x)=ax3+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是
________.
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科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标4章末练习卷(解析版) 题型:选择题
已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为 ( ).
A.1 B.2 C.-1 D.-2
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科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标4.5练习卷(解析版) 题型:解答题
设力F作用在质点m上使m沿x轴从x=1运动到x=10,已知F=x2+1且力的方向和x轴的正向相同,求F对质点m所作的功.
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科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标4.3练习卷(解析版) 题型:选择题
函数f(x)=xcos x-sin x在下面哪个区间内是增函数 ( ).
A. B.(π,2π)
C. D.(2π,3π)
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