精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),其中aR.

(1)a0时,求曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线的斜率;

(2)a时,求函数f(x)的单调区间与极值.

 

(1)3e(2) 所以f(x)(a2)(2a,+∞)内是增函数,在(a2,-2a)内是减函数.函数f(x)xa2处取得极大值f(a2),且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)x=-2a处取得极小值f(2a),且f(2a)3ae2a.

【解析】(1)a0时,f(x)x2exf′(x)(x22x)ex,故f′(1)3e.所以曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线的斜率为3e.

(2)f′(x)[x2(a2)x2a24a]ex.

f′(x)0解得x=-2axa2.a,-2aa2.

以下分两种情况讨论.

a>,则-2a<a2.x变化时,f′(x)f(x)的变化情况如下表:

x

(,-2a)

2a

(2aa2)

a2

(a2,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

极大值

极小值

所以f(x)(,-2a)(a2,+∞)内是增函数,在(2aa2)内是减函数.

函数f(x)x=-2a处取得极大值f(2a),且f(2a)3ae2a.

函数f(x)xa2处取得极小值f(a2),且f(a2)(43a)ea2.

a<,则-2a>a2.x变化时,f′(x)f(x)的变化情况如下表:

x

(a2)

a2

(a2,-2a)

2a

(2a,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

极大值

极小值

所以f(x)(a2)(2a,+∞)内是增函数,在(a2,-2a)内是减函数.

函数f(x)xa2处取得极大值f(a2),且f(a2)(43a)ea2.

函数f(x)x=-2a处取得极小值f(2a),且f(2a)3ae2a

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标6.1练习卷(解析版) 题型:解答题

先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题:

已知a1a2Ra1a21,求证:.

证明:构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2f(x)对一切实数xR,恒有f(x)≥0,则Δ48()≤0.

(1)已知a1a2anRa1a2an1,请写出上述结论的推广式;

(2)参考上述解法,对你推广的结论加以证明.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标5.4练习卷(解析版) 题型:选择题

复数的共轭复数为 ( )

A.-i B.i C.-i Di

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标5.3练习卷(解析版) 题型:选择题

i是虚数单位,( )

A. B.

C. D.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标5.2习卷(解析版) 题型:解答题

实数m取什么值时,复数zm1(m1)i是:

(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标4章末练习卷(解析版) 题型:填空题

若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是

________

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标4章末练习卷(解析版) 题型:选择题

已知直线yx1与曲线yln(xa)相切,则a的值为 ( )

A1 B2 C.-1 D.-2

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标4.5练习卷(解析版) 题型:解答题

设力F作用在质点m上使m沿x轴从x1运动到x10,已知Fx21且力的方向和x轴的正向相同,求F对质点m所作的功.

 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2015届湘教版高二数学选修2-2基础达标4.3练习卷(解析版) 题型:选择题

函数f(x)xcos xsin x在下面哪个区间内是增函数 (  )

A. B2π)

C. D(2π3π)

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案