Question

如图，在直三棱柱中，平面侧面，且

(1) 求证：；

(2) 若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小。

 

 

Answer 1

（1）过程详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题以直三棱柱为背景，考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、计算能力.第一问，作出辅助线AD，即可得到，利用面面垂直的性质，得到，再利用线面垂直的性质，得到，同理，得到，利用线面垂直的判定，得到侧面，从而利用线面垂直的性质，得到；第二问，可以利用传统几何法，证明二面角的平面角为，在三角形中，利用边角关系解出角的值，还可以利用向量法，建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用夹角公式计算.

试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接， 1分

因，则 2分

由平面侧面，且平面侧面， 3分

得，又平面，

所以. 4分

因为三棱柱是直三棱柱，

则，

所以.

又，从而侧面 ，

又侧面，故. 7分

（2）解法一：连接，由（1）可知，则是在内的射影∴ 即为直线与所成的角，则 8分

在等腰直角中，，且点是中点

∴ ，且，

∴ 9分

过点A作于点，连

由（1）知，则，且

∴ 即为二面角的一个平面角 10分

且直角中：

又，

∴ ，且二面角为锐二面角

∴ ，即二面角的大小为 14分

解法二（向量法）：由（1）知且，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，且设，则

， ， ，

， ， ， 9分

设平面的一个法向量

由， 得：

令 ，得 ，则 10分

设直线与所成的角为，则

得，解得，即 12分

又设平面的一个法向量为，同理可得，

设锐二面角的大小为，则

，且，得

∴ 锐二面角的大小为。 14分

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法.