Question

15．设p：实数x满足x²-（3a+1）x+2a²+a＜0，q：实数x满足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若a＞0，且?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x²-（3a+1）x+2a²+a＜0得（x-a）（x-（2a+1））＜0，当a=1时，代入可得．由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，即可得出．利用p∧q为真，则p真且q真，即可得出．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出．

解答 解：（1）由x²-（3a+1）x+2a²+a＜0得（x-a）（x-（2a+1））＜0，
当a=1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜3．
由|x-3|＜1，得-1＜x-3＜1，得2＜x＜4．
即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，
若p∧q为真，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是2＜x＜3．
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，
∴q是p的充分不必要条件，
则0＜a≤2，且2a+1≥4
∴实数a的取值范围是$\frac{3}{2}$≤a≤2．

点评 本题考查了一元二次不等式的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．