Question

9．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n有最大值，且$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$＜-1，则S_n取得最小正值时，n=（　　）

• A． 1
• B． 8
• C． 15
• D． 16

Answer 1

分析 等差数列{a_n}的前n项和S_n有最大值，可得：a₁＞0，d＜0．由于$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$＜-1，可得a₈（a₈+a₉）＜0，可得-7d＜a₁＜-$\frac{15}{2}$d，再利用前n项和公式即可得出．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和S_n有最大值，
∴a₁＞0，d＜0．
∵$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$＜-1，
∴a₈（a₈+a₉）＜0，
∴（a₁+7d）（2a₁+15d）＜0，
∴-7d＜a₁＜-$\frac{15}{2}$d，
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴S₁₅=15（a₁+7d）＞0，
S₁₆=16（a₁+$\frac{15}{2}$d）＜0，
∴当S_n取得最小正值时，n=15．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．