Question

18．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x+y-5≤0\\ 2x-y-1≥0\\ x-2y+1≤0\end{array}\right.$，等差数列{a_n}满足a₁=x，a₅=y，其前n项为S_n，则S₅-S₂的最大值为$\frac{35}{4}$．

Answer 1

分析 先根据等差数列的性质和求和公式可得z=S₅-S₂=$\frac{11}{4}$x+$\frac{y}{4}$，画出约束条件时可行域，求出z的最大值即可

解答 解：等差数列{a_n}满足a₁=x，a₅=y，
∴d=$\frac{y-x}{4}$，
∴设z=S₅-S₂=5a₁+10d-2a₁-d=3a₁+9d=3x+$\frac{y-x}{4}$=$\frac{11}{4}$x+$\frac{y}{4}$，
则y=-11x+$\frac{z}{4}$，
平移目标函数，当过点A时，在y轴的截距最大，此时z最大
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-5=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$解得x=3，y=2，即A（3，2），
∴z=$\frac{33}{4}$+$\frac{2}{4}$=$\frac{35}{4}$，
故答案为：$\frac{35}{4}$

点评 本题考查了等差数列的求和公式和线性规划在求解目标函数中的最值中的应用，属于中档题