Question

6．已知a，b＞0，且a+b=1，求证：$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}≤\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 采用两边平方后，利用基本不等式即可证明．

解答 证明：∵a+b=1，
由$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}$≤$\sqrt{6}$
可得：a+1+b+1+2$\sqrt{（a+1）（b+1）}$≤6，
∴2$\sqrt{（a+1）（b+1）}$≤3
由不等式的性质可得：2$\sqrt{（a+1）（b+1）}$≤a+1+b+1=3，当且仅当a=b时取等号．
∴$\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}≤\sqrt{6}$．

点评 本题考查了基本不等式的运用和证明，属于基础题．