Question

4．设F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，已知|PF₁|是|PF₂|和|F₁F₂|的等差中项，且∠F₁PF₂=120°，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 由双曲线的定义及等差数列的性质，即可求得m=2c-2a，n=2c-4a，利用余弦定理即可求得关于e的一元二次方程，由e＞1，即可求得该双曲线的离心率．

解答 解：设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由|PF₁|是|PF₂|和|F₁F₂|的等差中项，∠F₁PF₂=120°，
则点P在C的右支上，
∴m-n=2a，2|PF₁|=|PF₂|+|F₁F₂|，即2m=n+2c，
∴m=2c-2a，n=2c-4a，
由余弦定理可知：丨F₁F₂丨²=|PF₁|²+|PF₁|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂，
∴（2c）²=（2c-2a）²+（2c-4a）²-2•（2c-2a）•（2c-4a）cos120°，
整理得2c²-9ac+2c²=0，由e=$\frac{c}{a}$，
∴2e²-9e+7=0，由e＞1，
解得：e=$\frac{7}{2}$，
曲线的离心率为$\frac{7}{2}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线的定义，等差数列的性质，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．