Question

12．已知函数f（x）=e^x-ax+a（a∈R），其中e为自然对数的底数．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）函数y=f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，x₁＜x₂，点C在函数y=f（x）的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记$\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}=t$，求at-（a+t）的值．

Answer 1

分析 （1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f（x）的单调性区间；
（2）由题意可知：C=90°，则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}∈（{x_{1\;}}，{x_2}）$，即y₀=f（x₀）＜0，然后得到关于参数a的方程$at-\frac{a}{2}（1+{t^2}）+\frac{1}{2}（{t^2}-1）=0$，则$a=1+\frac{2}{t-1}$，则（a-1）（t-1）=2．即可求得at-（a+t）=1．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-ax+a，f'（x）=e^x-a，
①当a≤0时，则f'（x）＞0，则函数f（x）在（-∞，+∞）是单调增函数．
②当a＞0时，令f'（x）=0，则x=lna，
若x＜lna，f'（x）＜0，所以f（x）在（-∞，lna）上是单调减函数；
若x＞lna，f'（x）＞0，所以f（x）在（lna，+∞）上是单调增函数．
（2）由（1）可知当a＞0时，函数y=f（x）其图象与x轴交于两点，则有${e^{x_i}}-a{x_i}+a=0$，则$a（{x_i}-1）={e^{x_i}}＞0$，则x_i＞1（i=1，2）．
于是${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}=a\sqrt{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}$，在等腰三角形ABC中，显然C=90°，所以${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}∈（{x_{1\;}}，{x_2}）$，即y₀=f（x₀）＜0，
由直角三角形斜边的中线性质，可知$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=-{y_0}$，
所以${y_0}+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=0$，即${e^{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}}-\frac{a}{2}（{x_1}+{x_2}）+a+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=0$，
所以$a\sqrt{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}-\frac{a}{2}（{x_1}+{x_2}）+a+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{2}=0$，
即$a\sqrt{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}-\frac{a}{2}[（{x_1}-1）+（{x_2}-1）]+\frac{{（{x_2}-1）-（{x_1}-1）}}{2}=0$．
因为x₁-1≠0，则$a\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}-\frac{a}{2}（{1+\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}）+\frac{{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}-1}}{2}=0$，
又$\sqrt{\frac{{{x_2}-1}}{{{x_1}-1}}}=t$，所以$at-\frac{a}{2}（1+{t^2}）+\frac{1}{2}（{t^2}-1）=0$，
即$a=1+\frac{2}{t-1}$，则（a-1）（t-1）=2．
所以at-（a+t）=1．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论的思想，转化思想，方程思想，做题要认真仔细，方法要明，过程要严谨，考查学生分析问题解决问题的能力，属于难题．