给出下列四个命题:①若a＞b＞0.则$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$,②若a＞b＞0.则a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}{b}$,③若a＞b＞0.则$\frac{2a+b}{a+2b}$＞$\frac{a}{b}$,④a＞0.b＞0且2a+b=1.则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为9．其中正确命题的序号是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．给出下列四个命题：①若a＞b＞0，则$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{b}$；②若a＞b＞0，则a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}{b}$；③若a＞b＞0，则$\frac{2a+b}{a+2b}$＞$\frac{a}{b}$；④a＞0，b＞0且2a+b=1，则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为9．
其中正确命题的序号是②④（把你认为正确命题的序号都填上）．

分析根据a＞b＞0，得出$\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{a}$＞0，判断①错误；
由a＞b＞0，得出-$\frac{1}{a}$＞-$\frac{1}{b}$，从而得出a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}{b}$，判断②正确；
由a＞b＞0，得出$\frac{2a+b}{a+2b}$-$\frac{a}{b}$＜0，判断③错误；
根据题意，利用基本不等式得出$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥9，判断④正确．

解答解：对于①，若a＞b＞0，则ab＞0，
∴$\frac{1}{ab}$＞0，∴$\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{a}$＞0，①错误；
对于②，由①知，若a＞b＞0，则$\frac{1}{b}$＞$\frac{1}{a}$，
∴-$\frac{1}{b}$＜-$\frac{1}{a}$，即-$\frac{1}{a}$＞-$\frac{1}{b}$，
∴a-$\frac{1}{a}$＞b-$\frac{1}{b}$，②正确；
对于③，若a＞b＞0，则
$\frac{2a+b}{a+2b}$-$\frac{a}{b}$=$\frac{（2a+b）b-a（a+2b）}{b（a+2b）}$
=$\frac{{b}^{2}{-a}^{2}}{（a+2b）b}$
=$\frac{（b+a）（b-a）}{（a+2b）b}$＜0，
∴$\frac{2a+b}{a+2b}$＜$\frac{a}{b}$，③错误；
对于④，a＞0，b＞0且2a+b=1，则
$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）（2a+b）
=4+1+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}{b}}$=9，
当且仅当a=b=$\frac{1}{3}$时取等号，∴④正确．
故答案为：②④．

点评本题考查了不等式的基本性质与基本不等式的应用问题，考查了推理能力，是中档题．

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