Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx+cosx，sinx-cosx）（x∈R），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则x的取值集合为（　　）

• A． {x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z}
• B． {x|x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}
• C． {x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z}
• D． {x|x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z}

Answer 1

分析 由向量垂直的性质得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx-cosx）=0，由此利用二倍角公式、三角函数恒等变换能求出x的取值集合．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx+cosx，sinx-cosx）（x∈R），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx-cosx）
=sin²x+sinxcosx+cosxsinx-cos²x
=2sinxcosx-（cos²x-sin²x）
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）=0，
∴$2x-\frac{π}{4}=kπ$，k∈Z，
解得x的取值集合{x|x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z}．
故选：A．

点评 本题考查角的取值集合的求法，涉及到向量垂直、二倍角公式、三角函数恒等变换等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．